Теорема Больцано - Вейєрштрасса. Теорема Больцано - Вейєрштраса Теорема Больцано - Вейєрштраса та поняття компактності

Визначення ст.7. Точку х € R числової прямої називають граничною точкою послідовності (хп), якщо для будь-якої околиці U (х) і будь-якого натурального числа N можна знайти елемент хп, що належить цій околиці, з номером, великим ЛГ, тобто. х 6 R - гранична точка, якщо. Інакше кажучи, точка х буде граничною для (хп), якщо в будь-яку її околицю потрапляють елементи цієї послідовності з довільно великими номерами, хоча, можливо, і не всі елементи з номерами п>N. Тому досить очевидне таке твердження. Твердження б.б. Якщо lim(xn) = 6 6 R, b - єдина гранична точка послідовності (хп). Дійсно, в силу визначення 6.3 межі послідовності всі її елементи починаючи з деякого номера потрапляють в будь-яку скільки завгодно малу околицю точки 6, а тому в околицю ніякої іншої точки не можуть потрапити елементи з довільно великими номерами. Отже, умова визначення 6.7 здійсненна лише для єдиної точки 6. Однак не всяка гранична точка (іноді її називають тонкою згущеною) послідовності є її межею. Так, послідовність (б.б) не має межі (див. приклад 6.5), але має дві граничні точки х = 1 і х = - 1. Послідовність ((-1)пп) як граничні має дві нескінченні точки +оо і -з розширеною числовою прямою, об'єднання яких позначають одним символом оо. Саме тому можна вважати, що нескінченні граничні точки збігаються, а нескінченна точка оо згідно (6.29) є межею цієї послідовності. Граничні точки послідовності числова пряма Доказ ознаки Вейєрштраса та критерію Коші. Нехай задана послідовність (яп) і нехай числа утворюють зростаючу послідовність цілих позитивних чисел. Тоді послідовність (УпЬ де уп = хкп> називають підпослідовністю вихідної послідовності. Очевидно, що якщо (i„) має межею число 6, то будь-яка її підпослідовність має ту саму межу, оскільки починаючи з деякого номера всі елементи як вихідної послідовності, так і будь-який її підпослідовності потрапляють в будь-яку обрану околицю точки 6. У той же час будь-яка гранична точка підпослідовності є граничною і для послідовності. Нехай b - гранична точка послідовності (хп), тоді, згідно з визначенням 6. 7 граничної точки, для кожного п існує елемент, що належить околиці U (6, 1/п) точки b радіуса 1 /п. Підпослідовність, складена з точок ijtj, ...1 ..., де zjfcn€U(6, 1/п) Vn 6 N, має межею точку 6. Дійсно, при довільному е > 0 можна вибрати N, таке, що. Тоді всі елементи підпослідовності, починаючи з номера км, потраплять в околицю U(6, е) точки 6, що відповідає умові визначення 6.3 межі послідовності. Справедлива та зворотна теорема. Граничні точки послідовності числова пряма Доказ ознаки Вейєрштраса та критерію Коші. Теорема 8.10. Якщо деяка послідовність має підпослідовність з межею 6, то є гранична точка цієї послідовності. З визначення 6.3 межі послідовності слід, що починаючи з деякого номера всі елементи підпослідовності з межею b потрапляють в околицю U(b, ​​е) довільного радіусу е. Оскільки елементи підпослідовності є одночасно елементами послідовності (хп)> всередину цієї околиці потрапляють елементи хп завгодно великими номерами, але це з визначення 6.7 означає, що Ь - гранична точка послідовності (яп). Зауваження 0.2. Теореми 6.9 і 6.10 справедливі і у випадку, коли гранична точка є нескінченною, якщо при доказі вмерто околиці U(6, 1 /п) розглядати околицю (або околиці Умова, при якій з послідовності можна виділити підпослідовність, що сходить1, встановлює наступна теоре6. (Больцано - Веєрштрасса.) Будь-яка обмежена послідовність містить підпослідовність, що сходить до кінцевої межі Нехай всі елементи послідовності (ап) укладені між числами а і 6, тобто хп € [а, b] Vn € N. Розділимо відрізок [а , Ь] навпіл Тоді хоча б одна з його половин міститиме безліч елементів послідовності, тому що в іншому випадку і весь відрізок [а, Ь] містив би кінцеве їх число, що неможливо. , 6], яка містить безліч елементів послідовності (жп) (або якщо обидві половини такі, то будь-яка з них.) Аналогічно з відрізка , що містить безліч елементів послідовності, і т.д. Продовжуючи цей процес, побудуємо систему вкладених відрізків причому Ьп - ап = (6-а)/2П. Відповідно до принципу вкладених відрізків існує точка ж, що належить усім цим відрізкам. Ця точка і буде граничною для послідовності (яп) - насправді, для будь-якої е-околиці Щж, е) = = (х ж + е) точки х існує відрізок З U (x, е) (досить лише вибрати п з нерівності (, Що містить безліч елементів послідовності (sn). Відповідно до визначення 6.7 х - гранична точка цієї послідовності. Тоді через теорему 6.9 існує підпослідовність, що сходить до точки х. Метод міркувань, використаний при доказі цієї теореми (її іноді називають лемою Больцано - Вейєр-штрасса) і пов'язаний з послідовним розподілом навпіл розглянутих відрізків, відомий під назвою методу Больцано. Ця теорема значно спрощує доказ багатьох складних теорем. Вона дозволяє довести іншим (іноді більш простим) шляхом низку ключових теорем. Додаток 6.2. Доказ ознаки Вейєрштраса та критерію Коші Спочатку доведемо твердження 6.1 (ознака Вейєрштраса збіжності обмеженої монотонної послідовності). Припустимо, що послідовність (яп) незменшується. Тоді безліч її значень обмежена зверху і за теоремою 2.1 має точну верхню грань, яку позначимо sup(xn) be R. В силу властивостей точної верхньої грані (див. 2.7) Граничні точки послідовності числова пряма Доказ ознаки Вейєрштраса та критерію Коші. Відповідно до визначення 6.1 для незменшувальної послідовності маємо або Тоді > Ny а з урахуванням (6.34) отримаємо що відповідає визначенню 6.3 межі послідовності, тобто. 31im(sn) та lim(xn) = 66R. Якщо послідовність (хп) не зростає, то перебіг докази аналогічний. Тепер перейдемо до доказу достатності критерію Кохії збіжності послідовності (див. твердження 6.3), оскільки необхідність умови критерію випливає з теореми 6.7. Нехай послідовність (яп) є фундаментальною. Відповідно до визначення 6.4 за довільним € > 0 можна знайти номер N(s), такий, що з m^N і n^N випливає. Тоді, прийнявши т - N, при Vn > N отримаємо € £ Оскільки послідовність, що розглядається, має кінцеву кількість елементів з номерами, що не перевищують N, з (6.35) слід, що фундаментальна послідовність обмежена (див. для порівняння доказ теореми 6.2 про обмеженість послідовності, що сходиться) ). Для безлічі значень обмеженої послідовності існують точні нижня та верхня грані (див. теорему 2.1). Для безлічі значень елементів за п > N позначимо ці грані an = inf xn і bjy = sup xn відповідно. Зі збільшенням N точна нижня грань не зменшується, а точна верхня грань не збільшується, тобто. . я отримуємо систему елоасенниа? відрізків Відповідно до принципу вкладених відрізків існує загальна точка, що належить усім відрізкам. Позначимо її через Ь. Таким чином, при З порівняння (6. 36) і (6.37) у результаті отримаємо відповідність визначенню 6.3 межі послідовності, тобто. 31im(x„) та lim(sn) = 6 6 R. Фундаментальні послідовності почав вивчати Боль-цано. Але він не мав суворої теорією дійсних чисел, і тому не вдалося довести збіжність фундаментальної послідовності. Це зробив Коші, взявши за очевидний принцип вкладених відрізків, який пізніше обґрунтував Кантор. Ім'я Коші отримав як критерій збіжності послідовності, а й фундаментальну послідовність часто називають послідовністю Коші, а ім'я Кантора носить принцип вкладених відрізків. Запитання та завдання 8.1. Довести, що: 6.2. Навести приклади послідовностей, що не сходяться, з елементами, що належать множинам Q і R\Q. 0.3. За яких умов члени арифметичної та геометричної прогресій утворюють спадну і зростаючу послідовності? 6.4. Довести співвідношення, що випливають із табл. 6.1. 6.5. Побудувати приклади послідовностей, які прагнуть нескінченних точок +оо, -оо, оо, і приклад послідовності, що сходить до точки 6 € R. в. Чи може необмежена послідовність не бути б.б.? Якщо так, то навести приклад. о 7. Побудувати приклад складається з позитивних елементів послідовності, що розходиться, не має ні кінцевої, ні нескінченної межі. 6.8. Довести збіжність послідовності (яп), заданої рекурентною формулою sn+i = sin(xn/2) за умови «1 = 1. 6.9. Довести, що lim(xn)=09 якщо sn+i/xn-g€ .

Розділимо відрізок [ a 0 ,b 0] навпіл на два рівні відрізки. Принаймні один з відрізків, що вийшли, містить нескінченну кількість членів послідовності. Позначимо його [ a 1 ,b 1 ] .

На наступному кроці повторимо процедуру з відрізком [ a 1 ,b 1 ] : розділимо його на два рівні відрізки і виберемо з них той, на якому лежить нескінченна кількість членів послідовності. Позначимо його [ a 2 ,b 2 ] .

Продовжуючи процес отримаємо послідовність вкладених відрізків

в якій кожен наступний є половиною попереднього, і містить нескінченну кількість членів послідовності ( x k } .

Довжини відрізків прагнуть нуля:

В силу принципу вкладених відрізків Коші-Кантора існує єдина точка ξ, що належить всім відрізкам:

За побудовою на кожному відрізку [a m ,b m ] лежить нескінченна кількість членів послідовності. Виберемо послідовно

дотримуючись умов умов зростання номерів:

Тоді підпослідовність сходиться до точки ξ. Це випливає з того, що відстань від до ξ не перевищує довжини відрізка, що містить їх [a m ,b m ] , звідки

Поширення у разі простору довільної розмірності

Теорема Больцано - Вейєрштрасса легко узагальнюється у разі простору довільної розмірності.

Нехай дана послідовність точок простору:

(Нижній індекс - номер члена послідовності, верхній - номер координати). Якщо послідовність точок простору обмежена, кожна з числових послідовностей координат:

також обмежена ( - Номер координати).

З огляду на одновимірного варіанта теореми Больцано - Вейрштрасса з послідовності ( x k) можна виділити підпослідовність точок , перші координати яких утворюють послідовність, що збігається. З отриманої підпослідовності ще раз виділимо підпослідовність, що сходить по другій координаті. При цьому збіжність по першій координаті збережеться через те, що будь-яка підпослідовність послідовності, що сходить, також сходиться. І так далі.

Після nкроків отримаємо деяку послідовність

що є підпослідовністю, і що сходить по кожній з координат. Звідси випливає, що ця послідовність сходиться.

Історія

Теорема Больцано - Вейєрштраса (для випадку n= 1) вперше була доведена чеським математиком Больцано у 1817 році. У роботі Больцано вона виступала як лема в доказі теореми про проміжні значення безперервної функції, відомої тепер як теорема Больцано-Коші. Однак ці та інші результати, доведені Больцано задовго до Коші та Вейєрштраса, залишилися непоміченими.

Лише через півстоліття Вейєрштрас, незалежно від Больцано, знову відкрив і довів цю теорему. Спочатку називалася теоремою Вейєрштраса, до того як стали відомі і отримали визнання роботи Больцано.

Сьогодні ця теорема носить імена Больцано та Вейєрштрасса. Нерідко цю теорему називають лемою Больцано - Вейєрштраса, а інколи лемою про граничну точку.

Теорема Больцано - Вейєрштраса та поняття компактності

Теорема Больцано-Вейєрштрасса встановлює таку цікаву властивість обмеженої множини: будь-яка послідовність точок Mмістить схожу підпослідовність.

При доказі різних пропозицій в аналізі часто вдаються до наступного прийому: визначають послідовність точок, що володіє якою-небудь потрібною властивістю, а потім з неї виділяють підпослідовність, яка також володіє, але вже схожу. Наприклад, саме так доводиться теорема Вейєрштрасса про те, що безперервна на відрізку функція обмежена і набуває своїх найбільших і найменших значень.

Ефективність подібного прийому взагалі, а також бажання поширити теорему Вейєрштрасса на довільні метричні простори, спонукали в 1906 французького математика Моріса Фреше ввести поняття компактності. Властивість обмежених множин в , що встановлюється теоремою Больцано-Вейєрштрасса, полягає, образно кажучи, в тому, що точки множини розташовуються досить «тісно», або ж «компактно»: зробивши нескінченну кількість кроків по цій множині, ми неодмінно як завгодно близько підійдемо до якої то точці простору.

Фреше вводить таке визначення: безліч Mназивається компактним, або ж компактом, якщо будь-яка послідовність його точок містить підпослідовність, що сходить до деякої точки цієї множини. При цьому передбачається, що на множині Mвизначено метрику, тобто воно є