Знак розподілу. Позначення в Росії, Казахстані, Киргизії, Франції, Бельгії, Іспанії, на Україні, в Білорусії, Молдові, Грузії, Таджикистані, Узбекистані, Монголії.
Поділ стовпчиком- стандартна процедура в арифметиці, призначена для поділу простих чи складних багатозначних чисел за рахунок розбивання поділу на ряд. простих кроків. Як і у всіх завданнях на поділ, одне число, яке називається ділимим, ділиться на інше, яке називається дільником, виробляючи результат, який називається приватним. Цей спосіб дозволяє виконувати поділ довільно великих чисел, розбиваючи процес на серію простих послідовних кроків.
Позначення в Росії, Казахстані, Киргизії, Франції, Бельгії, Іспанії, в Україні, Білорусії, Молдові, Грузії, Таджикистані, Узбекистані, Монголії
У Росії дільник розташовується праворуч від діленого, що відокремлюється від нього вертикальною межею. Поділ також відбувається у стовпчик, але приватне (результат) записується нижче дільника і відокремлюється від нього горизонтальною межею.
8420│4 500│4 -8 │2105 -4 │125 4 10 - 4 - 8 20 20 - 20 -20 0 0
Позначення у Німеччині
- В деяких європейських країнахзастосовується інше позначення. Обчислення абсолютно таке ж, але записується інакше, як показано на прикладі:
127 ÷ 4 = 31.75 (12 - 12 = 0 який записаний на наступній лінії) 07 (сім переноситься з ділимого 127) 4 2 8 20 (5 × 4 = 20) 0
Позначення в Нідерландах
Обчислення абсолютно таке ж, але записується інакше (дільник розташовується ліворуч від ділимого), як показано на прикладі поділу 135 на 11 (з результатом 12 та залишком 3):
11 / 135 \ 12 11 -- 25 22 -- 3
Позначення в Америці та Великій Британії
При поділі на папері не використовуються символи косої межі ( / ) або обелюса ( ÷ ) . Натомість ділене, дільник і приватне (у процесі знаходження) розташовуються в таблиці. Приклад розподілу 500 на 4 (з результатом 125):
1 2 5 (Пояснення) 4|500 4 (4 × 1 = 4) 1 0 (5 - 4 = 1) 8 (4 × 2 = 8) 2 0 (10 - 8 = 2) 20 (4 × 5 = 20) 0 (20 - 20 = 0)Приклад поділу із залишком:
31.75 4|127 12 (12 - 12 = 0 який записаний на наступній лінії) 07 (сім переноситься з ділимого 127) 4 3.0 (3 - це залишок, який поділений на 4 для отримання 0.75) 2 8 (7 × 4 = 28) 20 (додатковий нуль переноситься) 20 (5 × 4 = 20) 0- По-перше, зверніть увагу на ділене (127), щоб визначити, чи може дільник (4) відніматися з нього (у нашому випадку не може, тому що ми маємо одиницю як першу цифру і ми не можемо використовувати негативні числа, тому не можна написати − 3)
- Якщо перша цифра недостатньо велика, ми беремо разом із нею таку цифру. Таким чином, у нашому розпорядженні як перше число тепер буде число 12.
- Візьміть максимальну кількість четвірок, яка може бути вирахована з першого числа. У нашому випадку з 12 може бути віднято 3 четвірки
- У приватному (над другою цифрою ділимого, так як це остання цифра яка використовується) напишіть трійку, що вийшла, а під ділимим число 12
- Відніміть 12, яку ви написали, з відповідного числа вище за нього (результат буде, звичайно, 0)
- Повторіть перший крок
- Оскільки 0 - невідповідне число для поділеного, перенесіть наступну цифру з поділеного (7). В результаті вийде 07
- Повторіть кроки 3, 4 та 7
- У вас буде число 31 у приватному, 3 як залишок і більше жодного числа в ділимому
- Можна продовжити поділки, отримуючи в приватному десятковий дріб : додайте до приватного справа точку, а до залишку (3) праворуч нуль і продовжуйте поділ, додаючи нуль кожного разу, коли ділене менше дільника (4)
Напишіть відгук про статтю "Поділ стовпчиком"
Примітки
Посилання
- Alternative Division Algorithms: , (недоступне посилання з 23-05-2013 (2432 дні) - історія , копія) ,
Уривок, що характеризує поділ стовпчиком
– Всім цим він був би зобов'язаний моїй дружбі… О, яке прекрасне царювання, яке прекрасне царювання! О, яке прекрасне царювання могло б бути царювання імператора Олександра!Він з жалем глянув на Балашева, і щойно Балашев хотів помітити те, як він знову поспішно перебив його.
- Чого він міг бажати і шукати такого, чого б він не знайшов у моїй дружбі?.. - сказав Наполеон, здивовано знизуючи плечима. - Ні, він знайшов найкращим оточити себе моїми ворогами, і ким же? – продовжував він. - Він закликав до себе Штейнов, Армфельдів, Вінцінгероде, Бенігсенов, Штейн - вигнаний зі своєї вітчизни зрадник, Армфельд - розпусник і інтриган, Вінцінгероді - підданець Франції, Бенігсен дещо більш військовий, ніж інші, але все-таки нездатний, який нічого не умів. створити в 1807 році і який би повинен збуджувати в імператорі Олександрі страшні спогади ... Припустимо, якби вони були здатні, можна б їх використовувати, - продовжував Наполеон, ледве встигаючи словом встигати за безперервно виникаючими міркуваннями, що показують йому його правоту або силу ( його понятті було одне й те саме), - але й того немає: вони не годяться ні для війни, ні для світу. Барклай, кажуть, діловіший за всіх; але я цього не скажу, судячи з його перших рухів. А що вони роблять? Що роблять усі ці придворні! Пфуль пропонує, Армфельд сперечається, Бенігсен розглядає, а Барклай, покликаний діяти, не знає, на що зважитися, і час минає. Один Багратіон – військова людина. Він дурний, але в нього є досвідченість, окомір і рішучість… І що за роль грає ваш молодий государ у цьому потворному натовпі. Вони його компрометують і на нього звалюють відповідальність всього того, що відбувається. — казав він, очевидно, посилаючи ці слова прямо як виклик в обличчя государя. Наполеон знав, як бажав імператор. Олександр бути полководцем.
– Вже тиждень, як розпочалася кампанія, і ви не зуміли захистити Вільню. Ви розрізані надвоє і вигнані з польських провінцій. Ваша армія нарікає...
- Навпаки, ваша величність, - сказав Балашев, що ледве встигав запам'ятовувати те, що говорилося йому, і насилу стежив за цим феєрверком слів, - війська горять бажанням ...
- Я все знаю, - перебив його Наполеон, - я все знаю, і знаю кількість ваших батальйонів так само, як і моїх. У вас немає двохсот тисяч військ, а в мене втричі стільки. Даю вам чесне слово,— сказав Наполеон, забуваючи, що це його чесне слово ніяк не могло мати значення,— даю вам ма parole d'honneur que j'ai 50 cent trente mille hommes de ce cote de la Vistule. [чесне слово, що я маю п'ятсот тридцять тисяч чоловік по той бік Вісли.] Турки вам не допомога: вони нікуди не годяться і довели це, замирившись з вами. Шведи – їх приречення бути керованими божевільними королями. Їхній король був божевільний; вони змінили його і взяли іншого - Бернадота, який відразу збожеволів, тому що божевільний тільки, будучи шведом, може укладати союзи з Росією. - Наполеон сердито посміхнувся і знову підніс до носа табакерку.
На кожну фразу Наполеона Балашев хотів і мав що заперечити; безперервно він робив рух людини, яка хотіла сказати щось, але Наполеон перебивав його. Наприклад, про божевілля шведів Балашев хотів сказати, що Швеція є острів, коли Росія за неї; але Наполеон сердито скрикнув, щоб заглушити його голос. Наполеон перебував у тому стані роздратування, у якому треба говорити, говорити і говорити, лише для того, щоб самому собі довести свою справедливість. Балашеву ставало важко: він, як посол, боявся впустити свою гідність і відчував необхідність заперечувати; але, як людина, він стискався морально перед забуттям безпричинного гніву, у якому, очевидно, був Наполеон. Він знав, що всі слова, сказані тепер Наполеоном, не мають значення, що він сам, коли схаменеться, засоромиться їх. Балашев стояв, опустивши очі, дивлячись на товсті ноги Наполеона, що рухалися, і намагався уникати його погляду.
- Та що мені ці ваші союзники? – казав Наполеон. – У мене союзники – це поляки: їх вісімдесят тисяч, вони б'ються, як леви. І їх буде двісті тисяч.
І, мабуть, ще більше обурившись тим, що, сказавши це, він сказав очевидну неправду і що Балашев у тій же покірній долі позі мовчки стояв перед ним, він круто повернувся назад, підійшов до самого обличчя Балашева і, роблячи енергійні і швидкі жести своїми білими руками, закричав майже:
- Знайте, що коли ви похитнете Пруссію проти мене, знайте, що я зітру її з карти Європи, - сказав він з блідим, перекрученим злістю обличчям, енергійним жестом однієї маленької руки вдаряючи по іншій. - Так, я закину вас за Двіну, за Дніпро і відновлю проти вас ту перешкоду, яку Європа була злочинна і сліпа, що дозволила зруйнувати. Так, ось що з вами буде, ось що ви виграли, відійшовши від мене, - сказав він і мовчки пройшов кілька разів по кімнаті, здригаючись своїми товстими плечима. Він поклав у жилетну кишеню табакерку, знову вийняв її, кілька разів приставляв її до носа і зупинився проти Балашева. Він помовчав, глузливо глянув Балашеву в очі і сказав тихим голосом: — Et cependant quel beau regne aurait pu avoir votre maitre!
У більшості країн віддають перевагу двокрапці ( : ) , в англомовних країнах та на клавішах мікрокалькуляторів - символ ( ÷ ) . Для математичних формул у всьому світі віддають перевагу знаку ( ⁄ ) .
Історія символу
Найстаріший знак поділу швидше за все знак ( / ) . Вперше його використовував англійський математик Вільям Відред у своїй праці Clavis Mathematicae( , Лондон).
Інші вживання символів ( ÷ ) і ( : )
Символи ( ÷ ) і ( : ) можуть використовуватися також для позначення діапазону. Наприклад, "5÷10" може позначати діапазон , тобто від 5 до 10 включно. Якщо є таблиця, рядки якої позначаються числами, а стовпці - латинськими літерами, запис виду «D4:F11» може використовуватися для позначення масиву осередків (двовимірного діапазону) від Dдо Fта від 4 до 11.
Кодування
| Знак | Юнікод | Назва | HTML/XML | LaTeX | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Код | Назва | Шістнадцяткове | Десятичне | Мнемоніка | |||
| : | U+003A | COLON | двокрапка | : | : | - | : |
| ÷ | U+00F7 | DIVISION SIGN | ÷ | ÷ | ÷ | \div | |
| ∕ | U+2215 | DIVISION SLASH | ∕ | ∕ | - | / | |
| ⁄ | U+2044 | FRACTION SLASH | знак дробу | ⁄ | ⁄ | ⁄ | / |
Напишіть відгук про статтю "Знак поділу"
Література
- Florian Cajori: A History of Mathematical Notations. Dover Publications 1993
Див. також
|
||||||||||
Уривок, що характеризує Знак поділу
Але це щастя одного боку душевної не тільки не заважало їй у всій силі відчувати горе про брата, але, навпаки, цей душевний спокій в одному відношенні давав їй велику можливість віддаватися цілком почуття до брата. Почуття це було так сильно в першу хвилину виїзду з Воронежа, що ті, хто проводжав її, були впевнені, дивлячись на її змучене, відчайдушне обличчя, що вона неодмінно занедужає дорогою; але саме труднощі та турботи подорожі, за які з такою діяльністю взялася княжна Мар'я, врятували її на якийсь час від її горя і надали їй сили.Як і завжди це буває під час подорожі, княжна Мар'я думала лише про одну подорож, забуваючи про те, що було її метою. Але, під'їжджаючи до Ярославля, коли відкрилося знову те, що могло бути їй, і вже не через багато днів, а нині ввечері, хвилювання княжни Марії дійшло до крайніх меж.
Коли посланий вперед гайдук, щоб дізнатися в Ярославлі, де стоять Ростові і в якому положенні знаходиться князь Андрій, зустрів біля застави велику карету, що в'їжджала, він жахнувся, побачивши страшно бліде обличчя княжни, яке висунулося йому з вікна.
- Все дізнався, ваше сіятельство: ростовські стоять на площі, у будинку купця Броннікова. Недалеко над самою над Волгою, – сказав гайдук.
Княжна Марія злякано запитливо дивилася на його обличчя, не розуміючи того, що він казав їй, не розуміючи, чому він не відповідав головне питання: що брат? M lle Bourienne зробила це питання за княжну Марію.
– Що князь? - Запитала вона.
– Їхнє сяйво з ними в тому ж будинку стоять.
"Отже, він живий", - подумала княжна і тихо запитала: що він?
- Люди казали, все в тому ж становищі.
Що означало «все в тому ж становищі», княжна не стала питати і мигцем тільки, непомітно глянувши на семирічного Миколушку, що сидів перед нею і тішився на місто, опустила голову і не піднімала її доти, доки важка карета, тремтячи, тремтячи і колихаючись, не зупинилася десь. Загриміли підніжки, що відкидаються.
Відчинилися дверцята. Зліва була вода – річка велика, праворуч був ґанок; на ганку були люди, прислуга і якась рум'яна, з великою чорною косою, дівчина, яка неприємно удавано посміхалася, як здалося князівні Мар'ї (це була Соня). Княжна збігла сходами, дівчина, що удавана усміхнулася, сказала: - Сюди, сюди! – і княжна опинилась у передній перед старою жінкою зі східним типом обличчя, яка з розчуленим виразом швидко йшла їй назустріч. То була графиня. Вона обійняла князівну Марію і почала цілувати її.
Школа-ліцей №__
Реферат
на тему
"Історія виникнення арифметичних дій"
Виконала: вчення__ 5 _ класу
______________
Караганда, 2015
Араби не стирали цифри, а перекреслювали їх і написували нову цифру над перекресленою. Це було дуже незручно. Тоді арабські математики, використовуючи той самий прийом віднімання, почали починати дію з нижчих розрядів, тобто раз працювали новий спосіб віднімання, подібний до сучасного. Для позначення віднімання III в. до зв. е. у Греції використовували перевернуту грецьку букву псі (Ф). Італійські математики користувалися для позначення віднімання літерою М, початковою у слові мінус. У 16 столітті для позначення віднімання стали застосовувати знак-. Ймовірно, цей знак перейшов у математику з торгівлі. Торговці, відливаючи на продаж вино з бочок, креслкою крейдою позначали кількість заходів проданого з бочки вина.
множення
Множення – це особливий випадок складання кількох однакових чисел. У далекі часи люди вчилися множити вже за рахунку предметів. Так, рахуючи по порядку числа 17, 18, 19, 20, вони мали представляти
20 не лише як 10+10, а й як два десятки, тобто 2 10;
30 - як три десятки, тобто три рази повторити доданок десяток - 3 - 10 - і так далі
Примножувати люди почали значно пізніше, ніж складати. Єгиптяни виконували множення у вигляді повторного складання або послідовного подвоєння. У Вавилоні при множенні чисел користувалися спеціальними таблицями множення – «предками» сучасних. У Стародавню Індіюзастосовували спосіб множення чисел, також досить близький до сучасного. Індійці проводили множення чисел, починаючи з вищих розрядів. При цьому вони стирали ті цифри, які при наступних діях треба було замінювати, тому що до них додавали число, що нині запам'ятовується нами при множенні. Таким чином, математики Індії відразу записували твір, виконуючи проміжні обчислення на піску або в умі. Індійський прийом множення перейшов до арабів. Але араби не стирали цифри, а перекреслювали їх та написували нову цифру над перекресленою. У Європі тривалий час твір називали сумою множення. Назва «множник» згадується в роботах 6 столітті, а «множина» - у 13 столітті.
У 17 столітті деякі з математиків стали позначати множення косим хрестиком - х, інші вживали при цьому точку. У 16-17 століттях для позначення дій застосовували різні символи - однаковості їх вживанні був. Тільки наприкінці 18 столітті більшість математиків стали вживати як знак множення крапку, але допускали і вживання косого хреста. Знаки множення ( х) і знак рівності (=) стали загальновизнаними завдяки авторитету знаменитого німецького математика Готфріда Вільгельма Лейбніца (1646-1716).
Поділ
Два будь-які натуральні числа завжди можна скласти, а також помножити. Віднімання з натурального числа можна виконати лише тоді, коли віднімання менше зменшуваного. Поділ же без залишку можна здійснити тільки для деяких чисел, причому дізнатися, чи ділиться одне число на інше, важко. Крім того, є числа, які взагалі не можна розділити на жодне число, крім одиниці. Ділити на нуль не можна. Ці особливості дії значно ускладнили шлях до з'ясування прийомів поділу. У Стародавньому Єгиптірозподіл чисел виконували способом подвоєння та медіації, тобто розподілом на два з наступним додаванням відібраних чисел. Математики Індії винайшли спосіб "розподіл вгору". Вони записували дільник під ділимим, проте проміжні обчислення - вгорі над ділимим. При чому ті цифри, які при проміжних обчисленнях зазнавали зміни, індійці прали і на їхнє місце писали нові. Запозичивши цей спосіб, араби в проміжних обчислення стали цифри перекреслювати і написувати над ними інші. Таке нововведення значно ускладнило «поділ догори». Спосіб розподілу, близький до сучасного, вперше з'явився в Італії в 15 столітті.
Протягом тисячоліть дію поділу не позначали якимось знаком - його називали і записували словом. Індійські математики першими стали позначати поділ початковою літерою із назви цієї дії. Араби ввели для значення розподілу межу. Рису для позначення поділу від арабів перейняв у 13 столітті італійський математик Фібоначчі. Він же вперше вжив термін приватне. Знак двокрапки (:) для позначення розподілу ввійшов у вжиток наприкінці 17 столітті.
Знак рівності (=) вперше запроваджено англійським учителем математики Р. Рікоррдом у 16 столітті. Він пояснював: «Жодні два предмети не можуть більшою мірою дорівнювати між собою, як дві паралельні лінії». Але ще єгипетських папірусах зустрічається знак, який позначав рівність двох чисел , хоча це знак не схожий знак = .
Знаки множення та поділузіграли величезну роль розвитку математики. Знак множення "косий хрест" (x) вперше запровадив англійський математик Вільям Оутред (1575-1660). Примноження стовпчиком, знайоме нам зі шкільної лави, – винахід не настільки вже й далекого часу! (Його теж вигадав Оутред.) Його учнями були знаменитий Крістофер Рен - творець собору Св. Павла в Лондоні і великий математик Дж. Валліс. Іншим чудовим винаходом Оутреда була також усім відома логарифмічна техніка, яку ввів у широку інженерну практику творець універсальної парової машини на своєму машинобудівному заводі в Сохо. Пізніше, 1698 р. німецький математик Г. Лейбніц ввів знак множення "крапка".
Ділити числа люди навчилися набагато пізніше, ніж множити. У поділ з допомогою таблиць зворотних чисел зводилося до множення, єгиптяни використовували спеціальну таблицю основних дробів. Європейський математик Герберт (нар. 950 р. в Аквітанії) у своїх творах навів правила. Але вони були надто складні та отримали назву "залізного поділу". Пізніше у Європі з'явився арабський спосіб поділу, яким ми користуємося досі. Він був набагато простішим, і тому його назвали "золотий поділ". Найстаріший знак розподілушвидше за все виглядав так: "/". Вперше його використав англійський математик Вільям Оутред у своїй праці "Clavis Mathematicae" (1631, Лондон). Німецький математик Йохан Ран запровадив знак "+" для множення. Він з'явився у його книзі "Deutsche Algebra" (1659). Знак Рана часто називають "англійським знаком", тому що англійці першими почали його використовувати, хоча коріння його лежить у Німеччині. Німецький математик Лейбніц вважав за краще двокрапку ":" – цей символ він уперше використав у 1684 р. у своїй праці "Acta eruditomm". До Лейбніца цей знак був використаний англійцем Джонсоном в 1633 р. в одній книзі, але як знак дробу, а не поділу у вузькому значенні. У більшості країн воліють двокрапку ":", в англомовних країнах та на клавішах мікрокалькуляторів символ "+". Для математичних формул у всьому світі віддають перевагу знаку "/". Знаки множення і розподілу не відразу отримали загальне визнання. Як повільно найелементарніші символи входили у вживання, показує наступний факт. У 1731 р. Стевен Хельс видає свої "Етюди за статикою" велику серйозну працю, адресовану автором в першу чергу сочлена по Лондонському королівському суспільству і підписаний до друку президентом суспільства Ісааком Ньютоном. У передмові до цієї книги автор пише: "Оскільки чути скарги про те, що вживані мною знаки багатьом незрозумілі (книга вийшла другим виданням), то я скажу: знак "+" - означає "більше" або "додати"; 18, рядок 4: "6унцій + 240 гранів" означає те ж, що сказати "до 6 унцій додати 240 гранів", а на рядку 16 тієї ж сторінки знак "х" означає "помножити"; дві короткі паралельні лінії означають "рівняється" ", Так 1820х4 - 7280, це все одно, що 1820, помножені на 4, дають (рівні) 7280".
Знаки множення та поділу (÷) та (:) можуть використовуватися також для позначення діапазону. Наприклад, "5÷10" може позначати діапазон , тобто від 5 до 10 включно. Якщо є таблиця, рядки якої позначаються числами, а стовпці - латинськими літерами, запис виду "D4:F11" може використовуватися для позначення масиву осередків (двовимірного діапазону) від D до F і від 4 до 11.